Leyes del álgebra de Boole: todas las leyes con demostración y ejemplos

Todas las leyes del álgebra de Boole que aplica el motor, cada una enunciada en cuatro notaciones y demostrada en todas las filas de su tabla de verdad.

Las 29 leyes de abajo son exactamente las reglas de reescritura que usan el simplificador, el conversor a formas normales y el transformador a compuertas NAND o NOR de Tangibool, con el nombre que les da el motor (y el nombre de los libros donde los dos difieren: la ley nula es la ley de dominación del motor, la involución es la doble negación). Tres más, la ley conmutativa, el teorema del consenso y los postulados de Huntington, se enuncian aquí porque son lo que buscan los estudiantes, y el motor las demuestra de la misma manera.

Una página de ley da el enunciado en notación de palabras, de programación, matemática y de álgebra, la tabla de verdad con ambos lados como columnas, el veredicto del verificador sobre todas las asignaciones, un diagrama de compuertas de cada lado, el error habitual con esa ley, la lección que la enseña y los ejemplos resueltos cuya simplificación la usó.

Si quieres ver una ley en acción sobre tu propia expresión, el simplificador nombra la ley en cada paso y verifica que el paso no cambió la función.

• Ley de identidad (elemento neutro): A·1 = A, A+0 = A
  La ley de identidad dice que combinar un valor con la constante neutra lo deja sin cambios: VERDADERO es neutro para AND y FALSO es neutro para OR.
• Ley de dominación (elemento dominante): A·0 = 0, A+1 = 1
  La ley nula (el motor la llama dominación) dice que la constante dominante fija el resultado sea cual sea el otro operando: FALSO domina a AND y VERDADERO domina a OR.
• Ley de idempotencia: A·A = A, A+A = A
  La ley de idempotencia dice que combinar un valor consigo mismo mediante AND u OR devuelve el valor: A AND A = A y A OR A = A.
• Ley del complemento: A·A' = 0, A+A' = 1
  La ley del complemento dice que un valor combinado con su propia negación da FALSO con AND y VERDADERO con OR: A AND NOT A = FALSE, A OR NOT A = TRUE.
• Ley de absorción: A + A·B = A, con demostración
  La ley de absorción dice que un valor absorbe cualquier término que lo contenga: A OR (A AND B) = A y A AND (A OR B) = A.
• Doble negación (involución): (A')' = A
  La doble negación (también llamada involución) dice que negar un valor dos veces devuelve el original: NOT NOT A = A.
• Leyes de De Morgan: (A·B)' = A' + B', con demostración y ejemplos
  Las leyes de De Morgan dicen cómo una negación atraviesa AND y OR: la negación de un AND es el OR de las negaciones, y la negación de un OR es el AND de las negaciones.
• Negación de constantes: 1' = 0, 0' = 1
  Negar una constante da la otra constante: NOT TRUE = FALSE y NOT FALSE = TRUE.
• Identidades de XOR: A ⊕ 0 = A, A ⊕ 1 = A', A ⊕ A = 0
  Las identidades de XOR: XOR con FALSO deja un valor sin cambios, XOR con VERDADERO lo niega, y un valor XOR consigo mismo es FALSO.
• Ley asociativa: (A·B)·C = A·(B·C)
  La ley asociativa dice que reagrupar una cadena del mismo operador no cambia su valor: (A AND B) AND C = A AND (B AND C), y lo mismo para OR y XOR.
• Eliminación de la implicación: A → B = A' + B
  La eliminación de la implicación reescribe A -> B como NOT A OR B: una implicación es verdadera salvo que su condición se cumpla y su consecuencia falle.
• Eliminación del bicondicional: A ↔ B = A·B + A'·B'
  La eliminación del bicondicional reescribe A <-> B como (A AND B) OR (NOT A AND NOT B): ambos verdaderos, o ambos falsos.
• Eliminación de XOR: A ⊕ B = A·B' + A'·B
  La eliminación de XOR reescribe A XOR B como (A AND NOT B) OR (NOT A AND B): el primero verdadero y el segundo falso, o al revés.
• Eliminación de NAND: NAND(A, B) = (A·B)'
  La eliminación de NAND reescribe NAND(A, B) como NOT (A AND B): un NAND es un AND seguido de un NOT.
• Eliminación de NOR: NOR(A, B) = (A+B)'
  La eliminación de NOR reescribe NOR(A, B) como NOT (A OR B): un NOR es un OR seguido de un NOT, verdadero solo cuando las dos entradas son falsas.
• Eliminación de XNOR: XNOR(A, B) = A ↔ B
  La eliminación de XNOR reescribe XNOR(A, B) como el bicondicional A <-> B: la compuerta que es verdadera cuando las dos entradas son iguales es la conectiva que dice «si y solo si».
• Ley distributiva: A·(B+C) = A·B + A·C, ambas formas
  La ley distributiva dice que AND se distribuye sobre OR y OR se distribuye sobre AND: A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C) y A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C).
• Desarrollo en mintérminos: la suma canónica de productos (Σm)
  El desarrollo en mintérminos reescribe una fórmula como el OR de un término AND por cada fila de la tabla de verdad en la que es verdadera: la suma canónica de productos, escrita Σm(…).
• Desarrollo en maxtérminos: el producto canónico de sumas (ΠM)
  El desarrollo en maxtérminos reescribe una fórmula como el AND de un término OR por cada fila de la tabla de verdad en la que es falsa: el producto canónico de sumas, escrito ΠM(…).
• Expansión de un subcircuito (paso de reescritura de Tangibool)
  La expansión de un subcircuito sustituye una instancia de un subcircuito reutilizable por el cuerpo de su definición, con los argumentos de la instancia conectados a las entradas de la definición.en preparación
• Expansión de una referencia a una salida con nombre (Tangibool)
  La expansión de una referencia sustituye una salida con nombre usada dentro de otra fórmula por su definición, de modo que eligible AND C con eligible := A OR B se convierte en (A OR B) AND C.en preparación
• Desarrollo de una restricción de recuento: AT_LEAST(2; A, B, C) = (A AND B) OR (A AND C) OR (B AND C)
  El desarrollo de una restricción de recuento reescribe ATLEAST(k; …), ATMOST(k; …) y EXACTLY(k; …) sobre sus operandos con AND, OR y NOT, para que las formas normales, los mapas de Karnaugh y las…
• NOT con NAND: A' = NAND(A, A)
  NOT con NAND: un inversor es una compuerta NAND con las dos entradas alimentadas por la misma señal, NOT A = NAND(A, A).
• AND con compuertas NAND: A·B = NAND(NAND(A, B), NAND(A, B))
  AND con compuertas NAND: A AND B = NAND(NAND(A, B), NAND(A, B)), un NAND seguido de un inversor NAND.
• OR con compuertas NAND: A + B = NAND(NAND(A, A), NAND(B, B))
  OR con compuertas NAND: A OR B = NAND(NAND(A, A), NAND(B, B)), un NAND de las dos entradas invertidas.
• NOT con NOR: A' = NOR(A, A)
  NOT con NOR: un inversor es una compuerta NOR con las dos entradas unidas, NOT A = NOR(A, A).
• OR con compuertas NOR: A + B = NOR(NOR(A, B), NOR(A, B))
  OR con compuertas NOR: A OR B = NOR(NOR(A, B), NOR(A, B)), un NOR seguido de un inversor NOR.
• AND con compuertas NOR: A·B = NOR(NOR(A, A), NOR(B, B))
  AND con compuertas NOR: A AND B = NOR(NOR(A, A), NOR(B, B)), un NOR de las dos entradas invertidas.
• Regla de agrupación en el mapa de Karnaugh: las celdas adyacentes eliminan la variable que cambia
  La regla de agrupación del mapa de Karnaugh: las celdas adyacentes con el mismo valor se combinan en un término que omite la variable que cambia entre ellas, (A AND B) OR (A AND NOT B) = A.
• Ley conmutativa: A·B = B·A, A+B = B+A
  La ley conmutativa dice que el orden de los operandos no importa: A AND B = B AND A, A OR B = B OR A, y lo mismo para XOR.
• Teorema del consenso: AB + A'C + BC = AB + A'C, con demostración
  El teorema del consenso dice que el término de consenso de dos términos es redundante: (A AND B) OR (NOT A AND C) OR (B AND C) = (A AND B) OR (NOT A AND C).
• Postulados de Huntington: los axiomas del álgebra de Boole
  Los postulados de Huntington son el pequeño conjunto de axiomas del que se sigue toda otra ley del álgebra de Boole: conmutatividad, distributividad en los dos sentidos, los elementos identidad y el…

Preguntas

¿Por qué hay más leyes aquí que en mi libro?

Los libros enumeran las identidades que los estudiantes memorizan (identidad, nula, idempotencia, complemento, absorción, conmutativa, asociativa, distributiva, De Morgan, involución). El motor necesita además las reglas de eliminación que convierten la implicación, el bicondicional, XOR, NAND, NOR y XNOR en AND, OR y NOT, los desarrollos en mintérminos y maxtérminos, y las construcciones solo con NAND o solo con NOR. Todas son leyes en el mismo sentido: una identidad que se cumple para cualquier asignación.

¿Importa el orden de las leyes al simplificar?

El simplificador aplica las leyes según una medida de tamaño (menos operadores, luego menos literales), no en un orden fijo, y se detiene cuando ninguna ley acorta más la expresión. Por eso su resultado se etiqueta como simplificado y no como mínimo: otro orden puede llegar a una forma más corta, y el motor nunca afirma que una forma sea la más pequeña; el mapa de Karnaugh obtiene una cobertura irreducible para hasta cuatro variables y la comprueba en todas las filas.

Generado a partir del motor de Tangibool, semántica tangibool-semantics/1, motor 1.0.0, compilación 2026-11-07. Cada tabla, mapa, simplificación y veredicto de estas páginas lo calculó el motor de Tangibool al compilar el sitio, y cada afirmación la volvió a comprobar el mismo verificador exacto que usa la app. Los límites se indican donde aplican. © 2026 Foreranger LTD.