Ley asociativa: (A·B)·C = A·(B·C)

La ley asociativa dice que reagrupar una cadena del mismo operador no cambia su valor: (A AND B) AND C = A AND (B AND C), y lo mismo para OR y XOR.

Nombre en el motor: AsociatividadFR: AssociativitéDE: Assoziativgesetz

Reagrupar una cadena del mismo operador (AND, OR o XOR) no cambia su valor.

Como la agrupación no importa, el motor escribe una cadena sin paréntesis interiores, A AND B AND C, y la trata como una compuerta con tres entradas. Por eso también el analizador te deja omitir paréntesis en una cadena del mismo operador pero los exige cuando se mezclan operadores: A AND B OR C se lee por precedencia, y A -> B -> C asocia a la derecha, lo que es otra regla.

La asociatividad es lo que permite a quien diseña circuitos construir un AND de cuatro entradas con tres compuertas de dos entradas en cualquier forma de árbol, y lo que permite al simplificador reagrupar (A AND B) AND A en una sola cadena, registrado como paso de asociatividad, antes de que la idempotencia elimine el duplicado.

La demostración de abajo es sobre tres variables, ocho filas, y el motor comprueba cada reagrupación contra la cadena plana.

Enunciado

(A AND B) AND C = A AND (B AND C) = A AND B AND C

Demostración por tabla de verdad: `(A AND B) AND C = A AND (B AND C) = A AND B AND C`

(A AND B) AND C = A AND (B AND C) = A AND B AND C
#	A	B	C	lhs	mid1	rhs
0	FALSO	FALSO	FALSO	FALSO	FALSO	FALSO
1	FALSO	FALSO	VERDADERO	FALSO	FALSO	FALSO
2	FALSO	VERDADERO	FALSO	FALSO	FALSO	FALSO
3	FALSO	VERDADERO	VERDADERO	FALSO	FALSO	FALSO
4	VERDADERO	FALSO	FALSO	FALSO	FALSO	FALSO
5	VERDADERO	FALSO	VERDADERO	FALSO	FALSO	FALSO
6	VERDADERO	VERDADERO	FALSO	FALSO	FALSO	FALSO
7	VERDADERO	VERDADERO	VERDADERO	VERDADERO	VERDADERO	VERDADERO

lhs ≡ mid1 se cumple · lhs and mid1 agree on every assignment. · Exhaustively checked and solver cross-checked · 8 filas

mid1 ≡ rhs se cumple · mid1 and rhs agree on every assignment. · Exhaustively checked and solver cross-checked · 8 filas

La misma ley en cuatro notaciones

Palabras(A AND B) AND C

Programación(A && B) && C

Matemática(A ∧ B) ∧ C

Álgebra(A·B)·C

LaTeX\left(A \cdot B\right) \cdot C

PalabrasA AND (B AND C)

ProgramaciónA && (B && C)

MatemáticaA ∧ (B ∧ C)

ÁlgebraA·(B·C)

LaTeXA \cdot \left(B \cdot C\right)

PalabrasA AND B AND C

ProgramaciónA && B && C

MatemáticaA ∧ B ∧ C

ÁlgebraA·B·C

LaTeXA \cdot B \cdot C

El error habitual

Suponer que la implicación es asociativa. (A -> B) -> C y A -> (B -> C) son fórmulas distintas; el motor lee una cadena sin paréntesis A -> B -> C como A -> (B -> C), y el comprobador de equivalencia muestra la fila en la que la otra agrupación difiere.

Preguntas

¿La asociatividad se cumple para NAND y NOR?

No, y por eso el motor solo las acepta en forma de función con exactamente dos operandos. NAND(NAND(A, B), C) y NAND(A, NAND(B, C)) son funciones distintas.

Relacionado

Lección que lo enseña

Lección 3: Agrupación y precedencia

Errores comunes

«A o B y C»: la ambigüedad de agrupación y cómo resolverla

Herramientas

Véase también

Leyes

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