Ley distributiva: A·(B+C) = A·B + A·C, ambas formas
La ley distributiva dice que AND se distribuye sobre OR y OR se distribuye sobre AND: A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C) y A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C).
OR se distribuye sobre AND (y AND sobre OR), lo que convierte una agrupación en un producto de sumas o en una suma de productos.
La primera forma coincide con el álgebra ordinaria (un producto se distribuye sobre una suma). La segunda no tiene equivalente con números: a + bc no es (a + b)(a + c). En el álgebra de Boole se cumplen las dos, y esa simetría es lo que hace intercambiables las formas de suma de productos y de producto de sumas.
La distribución es el motor de las formas normales. Aplicar la primera forma repetidamente convierte cualquier expresión AND-OR en una suma de productos (FND); aplicar la segunda la convierte en un producto de sumas (FNC). Es también el paso que puede hacer crecer una fórmula: distribuir un OR sobre k ANDs de n literales produce hasta n elevado a k cláusulas, y por eso el conversor a formas normales tiene un límite de tamaño y lo informa.
La demostración de ocho filas sobre A, B y C está abajo, y el ejemplo resuelto compara la forma factorizada y la desarrollada fila por fila.
Enunciado
A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C) Demostración por tabla de verdad: A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C)
| # | A | B | C | lhs | rhs |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 2 | FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 3 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 4 | VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 5 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 6 | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 7 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
La misma ley en cuatro notaciones
A OR (B AND C)A || (B && C)A ∨ (B ∧ C)A + (B·C)A + \left(B \cdot C\right)(A OR B) AND (A OR C)(A || B) && (A || C)(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)(A + B)·(A + C)\left(A + B\right) \cdot \left(A + C\right)El error habitual
Factorizar donde no hay nada compartido. (A AND B) OR (C AND D) no tiene factor común, y «distribuirla» produce un producto de cuatro sumas, no una fórmula más corta; el simplificador conserva la más corta de las dos formas.
Preguntas
¿Qué sentido usa el simplificador?
El simplificador ni desarrolla ni factoriza por su cuenta: solo aplica leyes que acortan una expresión, y la distribución no es una de ellas. El conversor a formas normales usa la ley en el sentido que necesita la forma objetivo, así que la FNC de (A AND B) OR (A AND C) es A AND (B OR C) y la FND de A AND (B OR C) es la forma desarrollada.
Relacionado
Lección que lo enseña
Errores comunes
- «A o B y C»: la ambigüedad de agrupación y cómo resolverla
- Un tiempo agotado no es un aprobado: resultados «No determinado»
Herramientas
- Calculadora y simplificador de álgebra de Boole paso a paso (cada ley nombrada y verificada)
- Comprobador de equivalencia lógica: dos expresiones, veredicto exacto, contraejemplo
Ejercicios
Véase también
- La distributividad en la práctica: A AND (B OR C) desarrollado
- Lección 10: Formas normales: FND, FNC, mintérminos y maxtérminos
- FNC frente a FND: qué forma normal para cada tarea
- Suma de productos frente a producto de sumas
- Ley de absorción: A + A·B = A, con demostración
Leyes
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