Eliminación del bicondicional: A ↔ B = A·B + A'·B'

Q: ¿En qué se diferencia «A exactamente cuando B» de «A si B»?

«A si B» es la implicación en un sentido B -> A; «exactamente cuando» añade el otro sentido y es el bicondicional. El comprobador de equivalencia muestra que A B y B -> A difieren en la fila A = VERDADERO, B = FALSO.

La eliminación del bicondicional reescribe A <-> B como (A AND B) OR (NOT A AND NOT B): ambos verdaderos, o ambos falsos.

Nombre en el motor: Eliminación del bicondicionalFR: Élimination du biconditionnelDE: Auflösung des Bikonditionals

Un bicondicional se reescribe como «ambos verdaderos» OR «ambos falsos».

«A si y solo si B» se cumple exactamente cuando A y B tienen el mismo valor. Escribirlo da los dos casos del lado derecho. La ley es el puente entre el bicondicional del lógico y la compuerta XNOR del ingeniero: el motor demuestra XNOR(A, B) = A <-> B como ley aparte, así que las tres formas son intercambiables.

El conversor a formas normales aplica esta eliminación para llegar a una FNC o FND. El simplificador conserva el bicondicional como un solo operador y pliega únicamente los casos con un operando constante, operandos iguales o complementarios, de modo que A <-> A se convierte en VERDADERO en un paso. Su negación, por De Morgan, es (A OR B) AND (NOT A OR NOT B), que es exactamente XOR en forma de producto de sumas; la comparativa entre implicación y bicondicional muestra los dos en una tabla.

La demostración de cuatro filas está abajo.

Enunciado

A <-> B = (A AND B) OR (NOT A AND NOT B)

Demostración por tabla de verdad: `A <-> B = (A AND B) OR (NOT A AND NOT B)`

A <-> B = (A AND B) OR (NOT A AND NOT B)
#	A	B	lhs	rhs
0	FALSO	FALSO	VERDADERO	VERDADERO
1	FALSO	VERDADERO	FALSO	FALSO
2	VERDADERO	FALSO	FALSO	FALSO
3	VERDADERO	VERDADERO	VERDADERO	VERDADERO

lhs ≡ rhs se cumple · lhs and rhs agree on every assignment. · Exhaustively checked and solver cross-checked · 4 filas

La misma ley en cuatro notaciones

PalabrasA <-> B

ProgramaciónA <-> B

MatemáticaA ↔ B

ÁlgebraA ↔ B

LaTeXA \leftrightarrow B

Palabras(A AND B) OR (NOT A AND NOT B)

Programación(A && B) || (!A && !B)

Matemática(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)

Álgebra(A·B) + (A'·B')

LaTeX\left(A \cdot B\right) + \left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right)

El error habitual

Encadenar bicondicionales sin paréntesis. A <-> B <-> C lo rechaza el analizador a propósito: las dos agrupaciones tienen la misma tabla, pero la cadena se malinterpreta con facilidad como «las tres son iguales», que no es lo que significa, ya que es FALSA cuando las tres son FALSAS; escribe (A <-> B) <-> C o A <-> (B <-> C).

Preguntas

¿En qué se diferencia «A exactamente cuando B» de «A si B»?

«A si B» es la implicación en un sentido B -> A; «exactamente cuando» añade el otro sentido y es el bicondicional. El comprobador de equivalencia muestra que A <-> B y B -> A difieren en la fila A = VERDADERO, B = FALSO.

Relacionado

Lección que lo enseña

Lección 5: Si, solo si, a menos que: condiciones necesarias y suficientes

Herramientas

Ejercicios

Ejercicios de validez de argumentos

Véase también

Leyes

Generado a partir del motor de Tangibool, semántica tangibool-semantics/1, motor 1.0.0, compilación 2026-11-07. Cada tabla, mapa, simplificación y veredicto de estas páginas lo calculó el motor de Tangibool al compilar el sitio, y cada afirmación la volvió a comprobar el mismo verificador exacto que usa la app. Los límites se indican donde aplican. © 2026 Foreranger LTD.