Simplificación con leyes, nivel avanzado
Diez simplificaciones más allá de una sola ley: el teorema del consenso y su dual, sacar un factor común de tres términos, un XOR que se cancela, y cadenas de implicaciones que se reducen a una constante o a una variable. Escribe la forma más corta, justifícala y compara con el motor.
La mayoría quedan fuera de lo que el simplificador del motor hace por sí solo. Sus leyes son reescrituras locales que acortan la expresión, y ni la factorización ni el consenso son una de ellas, así que bajo (A AND B) OR (NOT A AND C) OR (B AND C) la lista de pasos dice que no se aplicó ninguna ley, aunque el tercer término sobra. La clasificación y la tabla de verdad bajo cada problema siguen siendo exactas, y cada respuesta de las soluciones se comprobó equivalente a su problema en todas las filas. Las series de mapas de Karnaugh muestran el mismo caso de consenso como dos agrupaciones que ya cubren la tercera.
Se repiten dos patrones. Consenso: en (X AND Y) OR (NOT X AND Z) OR (Y AND Z) el término Y AND Z está implicado por los otros dos, porque en cualquier fila donde Y y Z son verdaderas también lo es X o NOT X, y el dual vale para productos de sumas. Implicación: reescribe P -> Q como NOT P OR Q y después usa absorción y complemento; A -> (B -> A) se convierte en NOT A OR NOT B OR A, que es verdadero.
1. Simplifica (A AND B) OR (NOT A AND C) OR (B AND C). (A AND B) OR (NOT A AND C) OR (B AND C)
| # | A | B | C | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 3 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 4 | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 5 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 6 | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 7 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
(A AND B) OR (NOT A AND C) OR (B AND C) Clasificación: contingente
Consenso: B AND C está implicado por los otros dos términos, así que quitarlo no cambia ninguna fila. La lista de pasos no muestra ninguna ley aplicada, porque el simplificador no mira dos términos a la vez; un mapa de Karnaugh de la función muestra dos agrupaciones que ya cubren todas las celdas de la tercera.
2. Simplifica (A XOR B) XOR B. (A XOR B) XOR B
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
(A XOR B) XOR B- Asociatividad ·
(A XOR B) XOR C = A XOR B XOR C(A XOR B) XOR B→A XOR B XOR BResultado:A XOR B XOR B - Identidades de XOR ·
A XOR A = FALSEA XOR B XOR B→AResultado:A
Clasificación: contingente
La asociatividad reagrupa la cadena como A XOR (B XOR B), y la identidad de XOR convierte B XOR B en FALSO y A XOR FALSE en A. El motor muestra las dos leyes.
3. Simplifica A -> (B -> A) y clasifícala. A -> (B -> A)
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
A -> B -> A Clasificación: tautología
La eliminación de la implicación dos veces da NOT A OR (NOT B OR A); la asociatividad la aplana a NOT A OR NOT B OR A, y el complemento sobre NOT A OR A hace verdadera toda la disyunción. La línea de clasificación dice tautología; la lista de pasos no muestra ninguna ley, porque el simplificador conserva las implicaciones.
4. Simplifica (A -> B) -> A. (A -> B) -> A
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
(A -> B) -> A Clasificación: contingente
Reescribe la implicación interior, (NOT A OR B) -> A, y después la exterior, NOT (NOT A OR B) OR A; De Morgan y doble negación dan (A AND NOT B) OR A, y la absorción deja A. La tabla es verdadera exactamente en las filas con A = TRUE.
5. Simplifica (A AND B) OR (A AND C) OR (A AND D) factorizando. (A AND B) OR (A AND C) OR (A AND D)
| # | A | B | C | D | f |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 2 | FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 3 | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO |
| 4 | FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 5 | FALSO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 6 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 7 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO |
| 8 | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 9 | VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 10 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 11 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 12 | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| 13 | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 14 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 15 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
(A AND B) OR (A AND C) OR (A AND D) Clasificación: contingente
Distribución leída de derecha a izquierda: A es común a los tres términos, así que A AND (B OR C OR D). El conjunto de filas verdaderas no cambia, solo el tamaño; la lista de pasos no aplica ninguna ley, porque el simplificador no factoriza.
6. Simplifica (A OR B) AND (NOT A OR C) AND (B OR C). (A OR B) AND (NOT A OR C) AND (B OR C)
| # | A | B | C | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 2 | FALSO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 3 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 4 | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 5 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 6 | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 7 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
(A OR B) AND (NOT A OR C) AND (B OR C) Clasificación: contingente
El teorema del consenso dual: la cláusula B OR C está implicada por (A OR B) AND (NOT A OR C), porque en cualquier fila donde se cumplen las dos cláusulas, o A es falsa y debe cumplirse B, o A es verdadera y debe cumplirse C. La lista de pasos no aplica ninguna ley; la tabla es verdadera con A = FALSE y B = TRUE, y con A = TRUE y C = TRUE.
7. Simplifica (A -> B) AND (B -> C) AND (A -> C). (A -> B) AND (B -> C) AND (A -> C)
| # | A | B | C | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| 1 | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | FALSO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 3 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 4 | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 5 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 6 | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 7 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
(A -> B) AND (B -> C) AND (A -> C) Clasificación: contingente
Silogismo hipotético: A -> C se sigue de las dos primeras implicaciones, así que añadirlo como miembro de la conjunción no quita ninguna fila y puede eliminarse. La tabla es verdadera exactamente en las cuatro filas de la cadena de dos implicaciones: toda falsa; solo C; B y C; toda verdadera.
8. Simplifica NOT (A -> B) OR B. NOT (A -> B) OR B
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
NOT (A -> B) OR B Clasificación: contingente
NOT (A -> B) es A AND NOT B, así que la fórmula es (A AND NOT B) OR B; la distribución da (A OR B) AND (NOT B OR B), y el complemento con la identidad deja A OR B. Falsa solo en A = FALSE, B = FALSE.
9. Simplifica (A -> B) AND (NOT A -> B). (A -> B) AND (NOT A -> B)
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
(A -> B) AND (NOT A -> B) Clasificación: contingente
Reescribe las dos: (NOT A OR B) AND (A OR B); la distribución saca B como factor, B OR (NOT A AND A), y el complemento con la identidad deja B. Sea cual sea A, uno de los dos antecedentes se cumple, así que B queda forzada: verdadera exactamente en las filas con B = TRUE.
10. Simplifica (A OR B) AND (NOT A OR B) AND (A OR NOT B). (A OR B) AND (NOT A OR B) AND (A OR NOT B)
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
El motor no encontró ninguna ley que acorte esta expresión; ya es tan corta como sus leyes de reescritura permiten.
(A OR B) AND (NOT A OR B) AND (A OR NOT B) Clasificación: contingente
Las dos primeras cláusulas dan B (saca B como factor y aplica complemento); B AND (A OR NOT B) se distribuye en (B AND A) OR (B AND NOT B), y el complemento con la identidad deja A AND B. Verdadera en una sola fila, A = TRUE, B = TRUE; la lista de pasos no aplica ninguna ley.
Preguntas
¿Por qué el motor no elimina el término de consenso?
Porque eliminarlo no es una reescritura local: hay que mirar los otros dos términos a la vez para ver que el tercero no añade ninguna fila. El simplificador informa de que no se aplicó ninguna ley y dice que no se descartan formas equivalentes más cortas; el mapa de Karnaugh, que mira la función entera, encuentra la cobertura sin el término sobrante.
Relacionado
Leyes
- Ley de identidad (elemento neutro): A·1 = A, A+0 = A
- Ley de dominación (elemento dominante): A·0 = 0, A+1 = 1
- Ley de idempotencia: A·A = A, A+A = A
- Ley del complemento: A·A' = 0, A+A' = 1
- Ley de absorción: A + A·B = A, con demostración
- Doble negación (involución): (A')' = A
Lecciones
Herramientas
Véase también
- Teorema del consenso: AB + A'C + BC = AB + A'C, con demostración
- «Simplificado» no es «mínimo»: lo que un simplificador puede prometer
- Solucionador de mapas de Karnaugh: de 2 a 4 variables, agrupaciones, SOP y POS
- Ley de Peirce: ((A → B) → A) → A es una tautología
- El consenso en la práctica: AB + A'C + BC simplificado
Ejercicios
Generado a partir del motor de Tangibool, semántica tangibool-semantics/1, motor 1.0.0, compilación . Cada tabla, mapa, simplificación y veredicto de estas páginas lo calculó el motor de Tangibool al compilar el sitio, y cada afirmación la volvió a comprobar el mismo verificador exacto que usa la app. Los límites se indican donde aplican. © 2026 Foreranger LTD.