Producto de sumas (POS): definición, ejemplo y equivalente en inglés
Un producto de sumas (POS) es un AND de cláusulas OR de literales, como (A OR B) AND (NOT A OR C). Tiene la misma forma que la forma normal conjuntiva, escrita con AND como producto y OR como suma.
En notación algebraica (A OR B) AND (NOT A OR C) es (A + B)(A′ + C): dos sumas multiplicadas. La forma es el dual de la suma de productos, y toda función tiene una. El producto canónico de sumas usa solo maxtérminos, uno por fila falsa; uno más corto usa cláusulas que excluyen varias filas cada una. Un producto de sumas se lee con naturalidad como una lista de requisitos que deben cumplirse todos, y por eso las restricciones y los problemas SAT suelen enunciarse con esta forma.
El artefacto es (A OR B) AND (NOT A OR C). El conversor la da ya como forma normal conjuntiva, 2 cláusulas y 4 literales, ninguna ley aplicada, y deriva la forma disyuntiva (A AND C) OR (NOT A AND B) OR (B AND C), 3 términos y 6 literales, por distribución y complemento. La tabla de 8 filas es verdadera en las filas 2, 3, 5 y 7; el contraejemplo de tautología A = FALSE, B = FALSE, C = FALSE falsea la primera cláusula, y el testigo de satisfacible es A = FALSE, B = TRUE, C = FALSE.
Los productos de sumas corresponden a circuitos OR-AND y a NOR-NOR tras la conversión, y son la forma que da un mapa de Karnaugh cuando se agrupan los ceros en lugar de los unos. En pruebas y en configuración, cada cláusula es una regla que puede revisarse por separado. El término se confunde con la suma de productos (su dual), y la palabra «producto» se lee a veces como el resultado final en lugar de como el AND que une las cláusulas.
Ejemplo
f := (A OR B) AND (NOT A OR C) · salida
Comprobaciones exactas
Tabla de verdad (8 filas)
| # | A | B | C | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 1 | FALSO | FALSO | VERDADERO | FALSO |
| 2 | FALSO | VERDADERO | FALSO | VERDADERO |
| 3 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 4 | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 5 | VERDADERO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 6 | VERDADERO | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 7 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
Lectura en lenguaje claro
Principiantef es verdadero exactamente cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. al menos uno entre A y B es verdadero (pueden serlo ambos)
2. A es falso o C es verdadero (o ambas cosas)
En todos los demás casos, f es falso.
Sobre los operadores:
- AND (Y) solo es verdadero cuando todas sus partes son verdaderas.
- OR (O) es inclusivo: es verdadero en cuanto al menos una parte es verdadera, también cuando lo son varias.
- NOT (NO) invierte un valor: lo verdadero pasa a ser falso y lo falso, verdadero.
Intermediof es verdadero exactamente cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. al menos uno entre A y B es verdadero (pueden serlo ambos)
2. A es falso o C es verdadero (o ambas cosas)
En todos los demás casos, f es falso.
Avanzadof es verdadero exactamente cuando se cumplen las dos condiciones siguientes [conjunción ∧]:
1. al menos uno entre A y B es verdadero (pueden serlo ambos) [disyunción inclusiva ∨]
2. A es falso o C es verdadero (o ambas cosas) [disyunción inclusiva ∨]
En todos los demás casos, f es falso.
Notación formal: (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)
Formas normales
Forma normal conjuntiva (FNC)
(A OR B) AND (NOT A OR C)2 cláusulas, 4 literales · complete
Forma normal disyuntiva (FND)
(A AND C) OR (NOT A AND B) OR (B AND C)3 términos, 6 literales · complete · Distributividad ×1, Complemento ×1
El error habitual
Distribuir en la dirección equivocada al convertir. Pasar (A OR B) AND (NOT A OR C) a suma de productos multiplica en cuatro productos, dos de los cuales contienen una variable y su negación; la ley del complemento los elimina, y por eso la FND del conversor tiene aquí 3 términos y no 4.
Preguntas
¿Cuándo conviene un producto de sumas?
Cuando la función tiene menos filas falsas que verdaderas, porque cada cláusula excluye filas falsas, o cuando el consumidor quiere cláusulas, como un solucionador SAT. La página de comparación SOP frente a POS pone las dos formas una junto a otra.
Relacionado
Ejercicios
Véase también
- Suma de productos (SOP): definición, ejemplo y equivalente en inglés
- Forma normal conjuntiva (FNC): definición, ejemplo y equivalente en inglés
- Cláusula: definición, ejemplo y equivalente en inglés
- Maxtérmino: definición, ejemplo y equivalente en inglés
- Suma de productos frente a producto de sumas
- Conversor a FNC y FND: formas normales conjuntiva y disyuntiva, mintérminos y maxtérminos
Glosario
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