Implicación (→, condicional): tabla de verdad y por qué un antecedente falso la hace verdadera
La implicación, A -> B, que se lee «si A entonces B», es FALSA en exactamente un caso: A VERDADERO y B FALSO. Cuando A es FALSO la implicación es VERDADERA sea cual sea B, que es la parte que sorprende a todo el mundo una vez.
La tabla tiene tres filas VERDADERAS y una FALSA, A = VERDADERO, B = FALSO. La segunda tabla de abajo es NOT A OR B, y su columna es idéntica: una implicación es una promesa, y una promesa se rompe solo cuando su condición se cumple y su consecuencia falla. En las filas en que A es FALSO la promesa nunca se puso a prueba, así que se mantiene; los lógicos llaman a esos casos verdades vacuas.
El analizador acepta -> y →; la flecha gruesa => se rechaza con una corrección, porque significa cosas distintas en herramientas distintas. La implicación liga con menos fuerza que AND, XOR y OR, así que A OR B -> C es (A OR B) -> C, y una cadena asocia a la derecha: A -> B -> C es A -> (B -> C). A es el antecedente y B el consecuente.
Tres implicaciones relacionadas se confunden con facilidad. El contrarrecíproco NOT B -> NOT A es equivalente a A -> B; el recíproco B -> A y el inverso NOT A -> NOT B no lo son, y los ejemplos resueltos muestran las filas en las que difieren. En lenguaje natural, «A solo si B» es A -> B (B es necesaria para A) mientras que «A si B» es B -> A (B es suficiente); la lección sobre condiciones necesarias y suficientes ejercita la distinción, y las formas de argumento modus ponens y modus tollens son las maneras válidas de usar una implicación.
Grafías aceptadas
-> →
a -> ba -> ba → ba → bA → B: A -> B
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
Principiantef es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero.
En todos los demás casos, f es falso.
Sobre los operadores:
- Una condición «si… entonces» solo restringe el caso en que se cumple su parte «si»: cuando la parte «si» es falsa, la condición se cumple sea cual sea la parte «entonces». No afirma lo recíproco.
Intermediof es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero.
En todos los demás casos, f es falso.
Avanzadof es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero [implicación material →].
En todos los demás casos, f es falso.
Notación formal: A → B
Reescrita como NOT A OR B: NOT A OR B
| # | A | B | f |
|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | FALSO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
Principiantef es verdadero exactamente cuando A es falso o B es verdadero (o ambas cosas).
En todos los demás casos, f es falso.
Sobre los operadores:
- OR (O) es inclusivo: es verdadero en cuanto al menos una parte es verdadera, también cuando lo son varias.
- NOT (NO) invierte un valor: lo verdadero pasa a ser falso y lo falso, verdadero.
Intermediof es verdadero exactamente cuando A es falso o B es verdadero (o ambas cosas).
En todos los demás casos, f es falso.
Avanzadof es verdadero exactamente cuando A es falso o B es verdadero (o ambas cosas) [disyunción inclusiva ∨].
En todos los demás casos, f es falso.
Notación formal: ¬A ∨ B
El error habitual
Leer A -> B como «A y B» o como «B causa A». La tabla dice solo que el caso A VERDADERO, B FALSO queda excluido. No se afirma nada cuando A es FALSO, y no se afirma nada sobre que B sea verdadera por otra razón que A.
Preguntas
¿Por qué una implicación con antecedente falso es verdadera?
Porque la alternativa es peor. Si A -> B fuera FALSA siempre que A es FALSO, «si llueve el suelo está mojado» sería falsa en un día seco. La tabla de verdad de NOT A OR B es la que hace válidas las reglas habituales de razonamiento, como el modus ponens.
¿Cómo escribo «A solo si B»?
Como A -> B: A puede cumplirse solo cuando B se cumple, así que B es una condición necesaria. «A si B» es el recíproco, B -> A. El comprobador de equivalencia muestra que las dos difieren en la fila A = VERDADERO, B = FALSO.
Relacionado
Ejemplos resueltos que lo usan
- La implicación como NOT A OR B, verificada
- Contrarrecíproco: A → B equivale a NOT B → NOT A
- El error del recíproco: A → B no es B → A
- El error del inverso: A → B no es NOT A → NOT B
- Modus ponens: A → B, A, por tanto B (válido)
- Modus tollens: A → B, NOT B, por tanto NOT A (válido)
Leyes
- Eliminación de la implicación: A → B = A' + B
- Eliminación del bicondicional: A ↔ B = A·B + A'·B'
- Eliminación de XNOR: XNOR(A, B) = A ↔ B
Herramientas
- Generador de tablas de verdad: cualquier expresión booleana, hasta 12 variables, con columnas intermedias
- Generador de circuitos lógicos: de expresión booleana a diagrama de compuertas (SVG)
Véase también
- Eliminación de la implicación: A → B = A' + B
- Bicondicional (↔, si y solo si): tabla de verdad y ejemplos
- La implicación como NOT A OR B, verificada
- Contrarrecíproco: A → B equivale a NOT B → NOT A
- El error del recíproco: A → B no es B → A
- El error del inverso: A → B no es NOT A → NOT B
- Modus ponens: A → B, A, por tanto B (válido)
- A → B no da B → A
- Necesario frente a suficiente: «solo si» no es «si»
- Variantes de flechas: => y <=> frente a → y ↔, qué significa cada una
Operadores y compuertas
Generado a partir del motor de Tangibool, semántica tangibool-semantics/1, motor 1.0.0, compilación . Cada tabla, mapa, simplificación y veredicto de estas páginas lo calculó el motor de Tangibool al compilar el sitio, y cada afirmación la volvió a comprobar el mismo verificador exacto que usa la app. Los límites se indican donde aplican. © 2026 Foreranger LTD.