Contrarrecíproco: definición, ejemplo y equivalente en inglés
El contrarrecíproco de A -> B es NOT B -> NOT A: las dos partes negadas y la flecha invertida. Un condicional y su contrarrecíproco son lógicamente equivalentes, así que cualquiera puede sustituir al otro.
«Si llueve, el suelo está mojado» tiene como contrarrecíproco «si el suelo no está mojado, no llueve», y los dos dicen lo mismo: ambos fallan solo cuando llueve sobre suelo seco. La contraposición es la única transformación de un condicional que conserva el significado; el recíproco y el inverso no. Es también la base del modus tollens, la inferencia de A -> B y NOT B a NOT A, y de la demostración por contraposición en matemáticas.
El artefacto de esta página compara implication = A -> B con contrapositive = NOT B -> NOT A. Las dos columnas se leen verdadero, verdadero, falso, verdadero, y la lista de filas que difieren está vacía. La comprobación de equivalencia se cumple: las dos fórmulas coinciden en las 4 filas. La única fila falsa es la 2, A = TRUE, B = FALSE, para ambas: ahí el original tiene antecedente verdadero y consecuente falso, y el contrarrecíproco tiene NOT B verdadero y NOT A falso, el mismo fallo visto desde el otro extremo.
Los contrarrecíprocos son útiles siempre que la dirección negativa es más fácil de enunciar o de comprobar: «sin entrada no se pasa» es el contrarrecíproco de «quien está dentro tiene entrada». En pruebas, una regla y su contrarrecíproco deben superar los mismos casos, lo que hace de uno una comprobación del otro. El término se confunde con el recíproco (flecha invertida, nada negado) y con el inverso (negado, flecha sin invertir), que son equivalentes entre sí pero no al original.
Ejemplo
implication := A -> B · salidacontrapositive := NOT B -> NOT A · salida
Comprobaciones exactas
Tabla de verdad (4 filas)
| # | A | B | implication | contrapositive |
|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | FALSO | FALSO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
Lectura en lenguaje claro
Principianteimplication es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero.
En todos los demás casos, implication es falso.
Sobre los operadores:
- Una condición «si… entonces» solo restringe el caso en que se cumple su parte «si»: cuando la parte «si» es falsa, la condición se cumple sea cual sea la parte «entonces». No afirma lo recíproco.
Intermedioimplication es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero.
En todos los demás casos, implication es falso.
Avanzadoimplication es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero [implicación material →].
En todos los demás casos, implication es falso.
Notación formal: A → B
El error habitual
Negar solo un lado al formar el contrarrecíproco. NOT B -> A y B -> NOT A no son el contrarrecíproco ni equivalentes al original; hay que negar las dos partes e intercambiarlas. La comprobación de equivalencia de esta página se cumple solo para la transformación completa.
Preguntas
¿Por qué el contrarrecíproco es equivalente y el recíproco no?
Porque A -> B es NOT A OR B, y NOT B -> NOT A es NOT NOT B OR NOT A, que la doble negación y la conmutatividad convierten en la misma fórmula. El recíproco, NOT B OR A, es otra disyunción, y la tabla muestra dónde difiere.
Relacionado
Véase también
- Recíproco: definición, ejemplo y equivalente en inglés
- Inverso (de una implicación): definición, ejemplo y equivalente en inglés
- Contrarrecíproco: A → B equivale a NOT B → NOT A
- Modus tollens: A → B, NOT B, por tanto NOT A (válido)
- Eliminación de la implicación: A → B = A' + B
- Comprobador de equivalencia lógica: dos expresiones, veredicto exacto, contraejemplo
Glosario
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