Recíproco: definición, ejemplo y equivalente en inglés
El recíproco del condicional A -> B es B -> A: las mismas dos partes con la flecha invertida. Un condicional y su recíproco no son equivalentes, y suponer que lo son es el error más común con las implicaciones.
Formar el recíproco intercambia antecedente y consecuente. «Si llueve, el suelo está mojado» tiene como recíproco «si el suelo está mojado, llueve», que puede ser falso cuando el primero es verdadero, porque existen los aspersores. El recíproco es lógicamente independiente del original: puede cumplirse cualquiera de los dos, ambos o ninguno. Formas relacionadas son el inverso, NOT A -> NOT B, equivalente al recíproco, y el contrarrecíproco, NOT B -> NOT A, equivalente al original.
El artefacto de esta página compara implication = A -> B con converse = B -> A. Las columnas se leen verdadero, verdadero, falso, verdadero y verdadero, falso, verdadero, verdadero, y la lista de filas que difieren es las filas 1 y 2: en la fila 1, A = FALSE, B = TRUE, la implicación es verdadera y el recíproco falso; en la fila 2, al revés. La comprobación de equivalencia se viola con el contraejemplo A = FALSE, B = TRUE. Solo coinciden donde A y B tienen el mismo valor.
Confundir un condicional con su recíproco convierte «los socios pueden entrar» en «quien entra es socio», y una condición necesaria en una suficiente; la página del error sobre necesario frente a suficiente trata exactamente de esto. Cuando se pretenden las dos direcciones, el bicondicional A <-> B lo dice, y es equivalente a la conjunción de un condicional y su recíproco. El término se confunde con el inverso y, más vagamente, con cualquier «inversión» de un enunciado.
Ejemplo
implication := A -> B · salidaconverse := B -> A · salida
Comprobaciones exactas
Tabla de verdad (4 filas)
| # | A | B | implication | converse |
|---|---|---|---|---|
| 0 | FALSO | FALSO | VERDADERO | VERDADERO |
| 1 | FALSO | VERDADERO | VERDADERO | FALSO |
| 2 | VERDADERO | FALSO | FALSO | VERDADERO |
| 3 | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO | VERDADERO |
Lectura en lenguaje claro
Principianteimplication es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero.
En todos los demás casos, implication es falso.
Sobre los operadores:
- Una condición «si… entonces» solo restringe el caso en que se cumple su parte «si»: cuando la parte «si» es falsa, la condición se cumple sea cual sea la parte «entonces». No afirma lo recíproco.
Intermedioimplication es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero.
En todos los demás casos, implication es falso.
Avanzadoimplication es verdadero exactamente cuando se cumple lo siguiente: si A es verdadero, entonces B es verdadero [implicación material →].
En todos los demás casos, implication es falso.
Notación formal: A → B
El error habitual
Dar por cierto el recíproco porque el original es verdadero. A -> B se cumple en la fila 1 y B -> A falla ahí, así que uno no arrastra al otro; la comprobación de equivalencia nombra esa fila. Una regla enunciada en una dirección no autoriza nada en la otra.
Preguntas
¿Cuándo son verdaderos a la vez un condicional y su recíproco?
Exactamente cuando A y B tienen siempre el mismo valor, que es lo que afirma el bicondicional A <-> B. En esta página son las filas 0 y 3, donde las dos columnas coinciden; en las filas 1 y 2 se cumple exactamente uno del par.
Relacionado
Véase también
- Contrarrecíproco: definición, ejemplo y equivalente en inglés
- Inverso (de una implicación): definición, ejemplo y equivalente en inglés
- A → B no da B → A
- El error del recíproco: A → B no es B → A
- Necesario frente a suficiente: «solo si» no es «si»
- Comprobador de equivalencia lógica: dos expresiones, veredicto exacto, contraejemplo
Glosario
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